Persamaan kuadrat adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai ujian, baik itu ujian nasional maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Dengan memahami konsep dasar dan cara menyelesaikan soal-soal persamaan kuadrat, siswa akan lebih siap menghadapi berbagai tantangan dalam matematika. Berikut ini adalah contoh soal persamaan kuadrat lengkap dengan pembahasan yang bisa menjadi referensi belajar.
Apa Itu Persamaan Kuadrat?
Secara umum, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
di mana $ a \neq 0 $. Nilai $ a $, $ b $, dan $ c $ adalah bilangan real. Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat ditemukan menggunakan beberapa metode seperti pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, atau rumus kuadratik (rumus abc).
Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya
Contoh Soal 1:
Bentuk umum dari persamaan kuadrat $ x(x - 4) = 2x + 3 $ adalah...
Pembahasan: Kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut ke bentuk umum $ ax^2 + bx + c = 0 $:
$$ x(x - 4) = 2x + 3 \ x^2 - 4x = 2x + 3 \ x^2 - 6x - 3 = 0 $$
Jadi, bentuk umumnya adalah $ x^2 - 6x - 3 = 0 $.
Jawaban: B
Contoh Soal 2:
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 7x - 12 = 0 $. Jika $ a = 1 $, $ b = 7 $, dan $ c = -12 $, maka nilai dari $ 2a + b - c $ adalah...
Pembahasan: Substitusi nilai $ a $, $ b $, dan $ c $ ke dalam ekspresi:
$$ 2a + b - c = 2(1) + 7 - (-12) = 2 + 7 + 12 = 21 $$
Jawaban: A
Contoh Soal 3:
Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat $ 2x^2 - x - 15 = 0 $ adalah...
Pembahasan: Faktorkan persamaan kuadrat:
$$ 2x^2 - x - 15 = (2x + 5)(x - 3) = 0 $$
Sehingga akar-akarnya adalah $ x = -\frac{5}{2} $ dan $ x = 3 $.
Jawaban: C
Contoh Soal 4:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ x_1 < x_2 $, maka nilai dari $ 3x_1 \cdot 2x_2 $ adalah...
Pembahasan: Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ adalah $ x_1 = 1 $ dan $ x_2 = 3 $.
$$ 3x_1 \cdot 2x_2 = 3(1) \cdot 2(3) = 3 \cdot 6 = 18 $$
Jawaban: A
Contoh Soal 5:
Sebuah kelereng dijatuhkan dari atap suatu gedung. Persamaan gerak kelereng tersebut mengikuti persamaan ketinggian seperti berikut:
$$ h(t) = 3x^2 - 12x - 12 $$
Waktu yang diperlukan kelereng untuk mencapai tanah adalah...
Pembahasan: Ketika kelereng menyentuh tanah, $ h(t) = 0 $:
$$ 3x^2 - 12x - 12 = 0 \ x^2 - 4x - 4 = 0 \ (x - 2)^2 = 0 \ x = 2 $$
Jawaban: D
Contoh Soal 6:
Andi ingin membeli sebidang tanah yang luasnya 80 m². Jumlah panjang dan lebarnya adalah 21 m. Keliling tanah tersebut adalah...
Pembahasan: Misalkan panjang = $ p $ dan lebar = $ l $. Maka:
$$ p + l = 21 \ p \cdot l = 80 $$
Selesaikan sistem persamaan:
$$ p = 16, \quad l = 5 \ \text{Keliling} = 2(p + l) = 2(16 + 5) = 42 $$
Jawaban: B
Contoh Soal 7:
Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat $ 4x^2 - 2x + 1 = 0 $ adalah...
Pembahasan: Diskriminan $ D = b^2 - 4ac $:
$$ D = (-2)^2 - 4(4)(1) = 4 - 16 = -12 $$
Jawaban: C
Contoh Soal 8:
Faktorisasi dari persamaan $ x^2 - 6x - 27 = 0 $ adalah...
Pembahasan: Faktorkan persamaan:
$$ x^2 - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3) $$
Jawaban: A
Contoh Soal 9:
Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 + 4x - 32 = 0 $. Jika $ x_1 $ adalah bilangan positif dan $ x_2 $ adalah bilangan negatif, maka nilai dari $ 2x_1 + x_2 $ adalah...
Pembahasan: Faktorkan persamaan:
$$ x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4) = 0 \ x_1 = 4, \quad x_2 = -8 \ 2x_1 + x_2 = 2(4) + (-8) = 0 $$
Jawaban: D
Contoh Soal 10:
Sita memiliki selembar kertas yang panjangnya $ (x + 4) $ cm dan lebarnya $ (x - 2) $ cm. Jika luas kertas tersebut 40 cm², maka nilai $ x $ adalah...
Pembahasan: Luas kertas = panjang × lebar:
$$ (x + 4)(x - 2) = 40 \ x^2 + 2x - 8 = 40 \ x^2 + 2x - 48 = 0 \ (x + 8)(x - 6) = 0 \ x = -8 \ (\text{tidak valid}), \quad x = 6 $$
Jawaban: C
Tips Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat
- Pahami Bentuk Umum: Pastikan Anda mengenal bentuk umum $ ax^2 + bx + c = 0 $.
- Gunakan Rumus Kuadratik: Jika tidak bisa difaktorkan, gunakan rumus kuadratik $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $.
- Perhatikan Diskriminan: Diskriminan $ D = b^2 - 4ac $ menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
- Latihan Berkala: Semakin banyak latihan, semakin mudah Anda mengenali pola dan strategi penyelesaian soal.
Dengan memahami konsep dasar dan terus berlatih, Anda akan mampu menguasai persamaan kuadrat dan siap menghadapi berbagai soal yang muncul dalam ujian. Jangan ragu untuk bertanya jika ada hal yang kurang jelas. Selamat belajar!
0Komentar